Một số bài tập không gian metric đầy đủ

Bài 1(2.6.1 Giáo trình thầy KÍNH và thầy KIỆT)

Gọi l_{\infty } là tập hợp tất cả các dãy số bị chặn. Với x=(\xi _{n}), y=(\eta _{n})\in l_{\infty }, đặt

d(x,y)=\underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |

Chứng minh d là một không gian metric trên l_{\infty }; hơn nữa không gian metric này là đầy đủ

Bài giải gợi ý

Chứng minh d là một metric trên l_{\infty }

Xét    d: \underset{(x,y)\rightarrow d(x,y)}{l_{\infty }\times l_{\infty }}\rightarrow \mathbb{R} với d(x,y)=\underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |

Ta thấy d là một ánh xạ vì với mọi x=(\xi _{n}), y=(\eta _{n})\in l_{\infty } thì (\xi _{n}-\eta _{n})_{n} là một dãy bị chặn do đó tồn tại sup

Ngoài ra

1) \forall x,y\in l_{\infty }  d(x,y)=\underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |\geq 0 ,\forall x,y\in l_{\infty } vì \left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |\geq 0,\forall \xi _{n},\eta _{n}

2) \forall x,y\in l_{\infty }  d(x,y)=0\Leftrightarrow \underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |=0\Leftrightarrow \left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |=0,\forall n\Leftrightarrow x=y

3) \forall x,y\in l_{\infty } , d(x,y)=\underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |=\underset{n}{sup}\left | \eta _{n}-\xi_{n} \right |=d(y,x)

4)\forall x,y,z\in l_{\infty }: Với x=(\xi _{n}), y=(\eta _{n}),z=(\zeta _{n})\in l_{\infty }

d(x,y)=\underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\eta _{n} \right |=\underset{n}{sup}\left | \xi _{n}-\zeta _{n}+\zeta _{n}-\eta _{n} \right |\leq \underset{n}{sup}(\left | \xi _{n}- \zeta _{n}\right |+\left|\zeta _{n}-\eta _{n} \right |)

\leq \underset{n}{sup}\left | \xi _{n}- \zeta _{n}\right |+\underset{n}{sup}\left|\zeta _{n}-\eta _{n} \right |

\Rightarrow d(x,y)=d(y,x)

\rightarrow (l_{\infty },d) là không gian metric

. Chứng minh không gian  (l_{\infty },d) là không gian metric đầy đủ

Giả sử  x^{(k)} là dãy cauchy trong (l_{\infty },d)

\Rightarrow \forall \varepsilon >0,\exists k_{0},\forall l,m\geq k_{0}:d(x^{l},x^{m})<\varepsilon

\Leftrightarrow \underset{n}{sup}\left | \xi _{n}^{(l)}-\xi _{n}^{(m)} \right |<\varepsilon \Leftrightarrow \left | \xi _{n}^{(l)}-\xi _{n}^{(m)} \right |<\varepsilon,\forall n

Cố định n, ta có (\xi _{n}^{(k)}) là dãy số cauchy

\Rightarrow \exists \underset{k \to \infty }{lim}\xi _{n}^{(k)}=\xi _{n} (\Rightarrow \forall \varepsilon >0,\exists k_{0},\forall k\geq k_{0}:\left | \xi _{n}^{k}-\xi _{n} \right |<\varepsilon )

Đặt x=(\xi _{1},\xi _{2},...). Ta sẽ chứng minh x^{(k)}\rightarrow x\in l_{\infty }

\xi _{n}^{(k)} là dãy số bị chặn( thuộc l_{\infty }) nên \exists a>0: \left | \xi _{n}^{k} \right |<a,\forall k,n

\left | \xi _{n} \right |\leq \left | \xi _{n}-\xi _{n}^{(k)} \right |+\left | \xi _{n}^{(k)} \right |<\varepsilon +a+M\Rightarrow x là dãy số bị chặn \rightarrow x\in l_{\infty }

Lại có

\left | \xi _{n}^{(k)}-\xi _{n} \right |<\varepsilon \Rightarrow \underset{n}{sup}\left | \xi _{n}^{(k)}-\xi _{n} \right |< \varepsilon \Rightarrow  x^{(k)}\rightarrow x

Published by

29maths

Trang blog 29maths

Một suy nghĩ 2 thoughts on “Một số bài tập không gian metric đầy đủ”

  2. Anh chị nào giải giúp em bài này zới!
    một hàm giá trị thực f trên một không gian topo S được gọi là nửa liên tục trên khi và chỉ khi với mỗi a thuộc R, f^(-1)([a, vô cùng)) đóng, hoặc nửa liên tục dưới nếu -f là nửa liên tục trên
    1) chứng minh rằng f là nửa liên tục trên khi và chỉ khi với mọi x thuộc S
    f(x)>=limsupf(y)khi y-> vô cùng:=inf{sup{f(y):y thuộc U, y khác x}:x thuộc U} với sup rỗng := âm vô cùng
    2)cmr f liên tục khi và chỉ khi nó là nửa liên tục cả trên lẫn dưới
    3)nếu f là nửa liên tục cả trên lẫn dưới trong một không gian compact X,chỉ ra với t thuộc X nào đó, f(t)= supf ;=sup{f(x): x thuộc S}

    Trả lời

Gửi phản hồi cho thanh tam Hủy trả lời